Polinomi e frazioni algebriche: esercizi svolti

Secondo le Indicazioni nazionali per i licei, nel primo biennio si studiano le proprietà dei polinomi e le operazioni tra di essi; la fattorizzazione e la divisione con resto sono nel primo biennio al liceo scientifico e nel secondo biennio negli altri licei.

Per questo lo stesso argomento può capitarti in prima, in seconda o in terza a seconda del tuo indirizzo. Il metodo però è lo stesso: si scompone sempre nello stesso ordine, e le frazioni algebriche si semplificano solo dopo aver scomposto e scritto le condizioni di esistenza. Qui trovi il metodo e otto esercizi svolti.

In sintesi

Liceo scientifico: primo biennio: operazioni, fattorizzazione e divisione con resto tra polinomi

Altri licei: primo biennio: proprietà dei polinomi e operazioni più semplici; secondo biennio: fattorizzazione e divisione

Ordine di scomposizione: raccoglimento, prodotti notevoli, trinomio, Ruffini

Frazioni algebriche: prima si scompone, poi si scrivono le condizioni di esistenza, poi si semplifica

Controllo rapido: teorema del resto: il resto della divisione per (x − a) è P(a)

Cosa dicono le Indicazioni nazionali

Le Indicazioni nazionali (DM 211/2010) mettono i polinomi nel passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico del primo biennio, ma con una differenza tra il liceo scientifico e gli altri licei.

Indirizzo	Primo biennio	Secondo biennio
Liceo scientifico	«le proprietà dei polinomi e le operazioni tra di essi. Saprà fattorizzare semplici polinomi, saprà eseguire semplici casi di divisione con resto»	numero delle soluzioni delle equazioni polinomiali
Classico, linguistico, scienze umane, artistico, musicale	«le proprietà dei polinomi e le più semplici operazioni tra di essi»	«Lo studente apprenderà a fattorizzare semplici polinomi, saprà eseguire semplici casi di divisione con resto»

Le Indicazioni non citano le frazioni algebriche come voce a sé: rientrano nella capacità di «eseguire calcoli con le espressioni letterali», e nella pratica di classe arrivano subito dopo la scomposizione, perché senza scomporre non si semplifica.

Come scomporre un polinomio: l’ordine giusto

Si prova sempre nello stesso ordine: raccoglimento a fattor comune, prodotti notevoli, trinomio di secondo grado, regola di Ruffini; e dopo ogni passo si controlla se i fattori ottenuti si scompongono ancora.

Tecnica	Quando usarla	Formula
Raccoglimento	tutti i termini hanno un fattore comune	ab + ac = a(b + c)
Differenza di quadrati	due quadrati con segno meno	a² − b² = (a − b)(a + b)
Quadrato di binomio	tre termini, due quadrati perfetti	a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
Trinomio somma-prodotto	x² + sx + p	due numeri con somma s e prodotto p
Ruffini	grado 3 o più, nessuna tecnica precedente	se P(a) = 0, (x − a) è un fattore

Esercizio 1

Scomponi 6x³ − 9x². Soluzione: il fattore comune è 3x², quindi 3x²(2x − 3).

Esercizio 2

Scomponi 4a² − 25. Soluzione: (2a)² − 5² = (2a − 5)(2a + 5).

Esercizio 3

Scomponi x² − 10x + 25. Soluzione: x² e 25 sono quadrati e 10x = 2·x·5, quindi (x − 5)².

Esercizio 4

Scomponi x² + x − 12. Soluzione: cerchiamo due numeri con somma 1 e prodotto −12: sono 4 e −3. Quindi (x + 4)(x − 3).

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Divisione tra polinomi e regola di Ruffini

Per dividere per un binomio (x − a) si usa la regola di Ruffini; il teorema del resto dice che il resto è P(a), quindi se P(a) = 0 il binomio è un fattore. Le radici intere vanno cercate tra i divisori del termine noto.

Esercizio 5

Scomponi P(x) = x³ − 4x² + x + 6.

Soluzione: i divisori di 6 sono ±1, ±2, ±3, ±6. P(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0, quindi (x + 1) è un fattore. Con Ruffini (coefficienti 1, −4, 1, 6 e a = −1) si ottengono 1, −5, 6 e resto 0: P(x) = (x + 1)(x² − 5x + 6) = (x + 1)(x − 2)(x − 3).

Esercizio 6

Calcola quoziente e resto di (2x³ + 3x² − x + 5) : (x − 2).

Soluzione: Ruffini con a = 2 sui coefficienti 2, 3, −1, 5 dà 2, 7, 13 e resto 31. Quoziente 2x² + 7x + 13, resto 31. Controllo: P(2) = 16 + 12 − 2 + 5 = 31.

Frazioni algebriche: condizioni di esistenza e semplificazione

Una frazione algebrica si semplifica in tre passi: scomporre numeratore e denominatore, scrivere le condizioni di esistenza (denominatore diverso da zero) sulla frazione di partenza, poi semplificare i fattori comuni.

Esercizio 7

Semplifica (x² − 9)/(x² + 3x).

Soluzione: (x − 3)(x + 3)/[x(x + 3)]. C.E.: x ≠ 0 e x ≠ −3. Semplificando: (x − 3)/x. La condizione x ≠ −3 resta anche se il fattore è sparito.

Esercizio 8

Calcola 1/(x − 1) − 2/(x² − 1).

Soluzione: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), C.E.: x ≠ ±1. Denominatore comune (x − 1)(x + 1): [(x + 1) − 2]/[(x − 1)(x + 1)] = (x − 1)/[(x − 1)(x + 1)] = 1/(x + 1).

L’errore più comune è semplificare termini invece di fattori: in (x + 3)/(x + 6) non si può «togliere» la x. Si semplificano solo fattori moltiplicati, dopo la scomposizione.

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Fonti ufficiali: Indicazioni nazionali per i licei (DM 211/2010). Fonti consultate il 12 novembre 2026.

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Domande frequenti

In che anno si studiano i polinomi al liceo?

Secondo le Indicazioni nazionali, le proprietà e le operazioni nel primo biennio di tutti i licei. Fattorizzazione e divisione con resto sono nel primo biennio al liceo scientifico e nel secondo biennio negli altri licei.

In che ordine si scompone un polinomio?

Raccoglimento a fattor comune, prodotti notevoli, trinomio di secondo grado, regola di Ruffini. Dopo ogni passo si controlla se i fattori si scompongono ancora.

Che cosa dice il teorema del resto?

Il resto della divisione di P(x) per (x − a) è P(a). Se P(a) = 0, il binomio (x − a) divide P(x).

Perché le condizioni di esistenza vanno scritte prima di semplificare?

Perché semplificando può sparire un fattore del denominatore, ma il valore che lo annulla resta escluso: la frazione di partenza lì non esiste.

Si può semplificare (x + 3)/(x + 6)?

No. Si semplificano solo fattori comuni, non termini di una somma.

Polinomi e frazioni algebriche al liceo: scomposizione, Ruffini ed esercizi svolti